（1）∵△=b²-4ac=[-3（m-1）]²-4m（2m-3）=（m-3）²，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴（m-3）²＞0且 m≠0，
∴m≠3且 m≠0，
∴m的取值范围是m≠3且 m≠0；
（2）证明：由求根公式x＝

−b± b2−4ac

2a

＝

3(m−1)±(m−3)

2m

，
∴x1＝

3m−3+m−3

2m

＝

2m−3

m

＝2−

3

m

，x2＝

3m−3−m+3

2m

＝1
∴无论m为何值，方程总有一个固定的根是1；
（3）∵m为整数，且方程的两个根均为正整数，
∴x1＝2−

3

m

必为整数，
∴m=±1或m=±3，
当m=1时，x₁=-1（舍去）；当m=-1时，x₁=5；当m=3时，x₁=1；当m=-3时，x₁=3．
∴m=-1或m=±3．