设直线方程为 y=kx ,代入椭圆方程得 x^2+3k^2*x^2=3,
即 x^2=3/(3k^2+1),所以 y^2=k^2*x^2=3k^2/(3k^2+1),
由于所截得的线段长为根号6,
因此,x^2+y^2=(√6/2)^2=3/2,
即 3/(3k^2+1)+3k^2/(3k^2+1)=3/2,
解得 k^2=1,
所以 直线L的斜率k的取值为 1 或 -1 .