√(x^2-6x+25)+√(x^2+4x+53)
=√[(x-3)²+(0-4)²]+√[(x+2)²+(0-7)²]
所以该式可以看出实轴上一点(x,0)到
点A(3,4)和B(-2,7)的距离之和
点B(-2,7)关于X轴的对称点是B'(-2,-7)
该距离之和的最小值显然=点(3,4)到点(-2,-7)的直线距离
=√[(3+2)²+(4+7)²]=根号146
∴原式的最小值为根号146
AB'的直线方程是y=kx+b
-7=-2k+b
4=3k+b
解得k=11/5,b=-7+22/5=-13/5
即有y=11/5x-13/5
令y=0得x=13/11
即当x=13/11时取得最小值.