A：f（x）=x²+a的定义域为R，值域[a，+∞），故A错误
B：f（x）=ax²+1定义域为R，若a=0，值域{1}，若a≠0，值域不是R，故B错误
C：在f（x）=ax²+x+1中，当a=0时，函数是一次函数，定义域和值域都是R．故C正确
D：f（x）=x²+ax+1的定义域R，值域[

4−a2

4

，+∞），故D错误
故选C