在Rt△ABC中,∠C=90,AC=3,BC=4,点P以一定的速度沿AC边由A向C运动,点Q以1cm/s速度沿CB边由C向B运动._数学解答

在Rt△ABC中,∠C=90,AC=3,BC=4,点P以一定的速度沿AC边由A向C运动,点Q以1cm/s速度沿CB边由C向B运动.设P、Q同时运动,且当一点运动到终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s).求：若点P以1cm/s的速度运动,在整个运动过程中,以PQ为直径的圆能否与直线AB相切?若不能,说明理由.

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解答

设运动了t秒,则AP=t,CQ=t,BQ=4-t,圆与AB切于M,
由切割线定理,得,
AM^2=AP*AC=3t
BM^2=4(4-t)
所以AM=√3t,BM=√4(4-t)
由AB=5,得方程,√3t+√4(4-t)=5,
移项,√3t-5=√4(4-t)
平方整理,得,
7t+9=√300t
平方,得,49t^2-174t+81=0,
（49t-27）（t-3）=0
解得t1=27/49,t2=3
所以当t=27/49,或3秒时以PQ为直径的圆与直线AB相切