如图，在直-棱柱ABO-A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上_数学解答

如图，在直-棱柱ABO-A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

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解答

如图，以O点为原点建立空间直角坐标系．
由题意，有B（3，0，0），D (

， 2 ， 4 )．
设P（3，0，z），则

＝{ −

， 2 ， 4 }，

＝{ 3 ， 0 ， z }．
∵BD⊥OP，∴

•

＝−

+4z＝0.z＝

．
∵BB′⊥平面AOB，
∴∠POB是OP与底面AOB所成的角.tan∠POB＝

，
∴∠POB＝arctan

．