已知数列an中,a1=3对于一切自然数n,以an,a（n+1）为系数的一元二次方程anx^2-2a(n+1)x+1=0都有实数根α_数学解答

已知数列an中,a1=3对于一切自然数n,
以an,a（n+1）为系数的一元二次方程anx^2-2a(n+1)x+1=0都有实数根α,β满足（α-1）（β-1）=2
1.求证数列（an-1/3）是等比数列
2.求数列an的通项公式
3.求an的前n项和Sn

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解答

整理得αβ-（α+β）-1=0
1/an-2a（n+1)/an-1=0
1-2a（n+1)-an=0 2a（n+1)=an-12(a（n+1)-1/3)=an-1/3
(a（n+1)-1/3)/(an-1/3)=1/2
an-1/3=(a1-1/3)*1/2^(n-1)
an=(a1-1/3)*1/2^(n-1)+1/3