∵1+2=2*3/2
1+2+3=3*4/2
1+2+3+4=4*5/2
......
1+2+3+……+100=100*101/2
∴1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+...+1/(1+2+3+...+100)
=1+2/（2*3）+2/（3*4）+2/（4*5）+……+2/（100*101）
=2[（1/2+1/（2*3）+1/（3*4）+1/（4*5）+……+1/（100*101）〕
∵1/（2*3）=1/2-1/3；
1/（3*4）=1/3-1/4；
1/（4*5）=1/4-1/5；
… …
1/（100*101）=1/100-1/101
∴原式=2（1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……+1/100-1/101）
=2[1+(-1/3+1/3)+(-1/4+1/4)+(-1/5+1/5)……(-1/100+1/100）-1/101 ]
=2（1-1/101）
=2*100/101
=200/101