（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则由题意知b=1．∴

a2-b2 a2

=

2

2

．
即

1- 1 a2

=

2

2

．∴a²=2．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）假设椭圆C的右焦点F可以为△BMN的重心，设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y得
3x²+4mx+2m²-2=0
由△=24-8m²＞0得m²＜3
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x1+x2=-

4

3

m
∵F（1，0），∴1=

x1+x2+xM

3

=-

4m

9

∴m=-

9

4

，不满足m²＜3
故直线l方程不存在．