高等代数问题,n阶矩阵A,B特征值都大于零,A^2=B^2证A=B,求各位大神非多项式拆分的解法
刚刚看到有人用这么解,虽然看懂了,但是对于我对它的解题的思想非常陌生,请问还有别的方法可作吗,我看到的是：
首先容易验证A和B的特征多项式相同,记为f(x),那么f(A)=f(B)=0.
再把f(x)拆成奇数次项和偶数次项两部分 f(x) = g(x) + x h(x),其中g和h都只含x的偶数次幂,
那么 g(A)+A*h(A) = 0 = g(B) + B*h(B),另外注意g(A)=g(B),h(A)=h(B),所以(A-B)h(A)=0.
只需要验证h(A)可逆即得A=B.
对于A的任何特征值t>0,0=f(t)=g(t)+t*h(t),若h(t)=0则g(t)=0,可得f(-t)=0,这与A的特征值全大于0矛盾,所以h(t)非零,即h(A)非奇异.
楼上的做法第一步额外假定了AB=BA,否则不能得到A^2-B^2=(A+B)(A-B).
最后一句话多余了