设函数f(x）在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f'(x)≤0,F(X)=1\(x-a)·∫＜a,x＞f(t)dt 证明_数学解答

设函数f(x）在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f'(x)≤0,F(X)=1\(x-a)·∫＜a,x＞f(t)dt 证明：在内有
设函数f(x）在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f'(x)≤0,
F(X)=1\(x-a)·∫＜a,x＞f(t)dt
证明：在(a,b)内有F'(x)≤0
＜a,x＞分别是积分的上下限,

人气：264 ℃　时间：2019-08-20 15:40:21

解答

F'(x) = f(x)/(x-a)-∫ f(t)dt/(x-a)² = ((x-a)f(x)-∫ f(t)dt)/(x-a)².在(a,b)上f'(x) ≤ 0,故f(x)单调减,f(x) ≤ f(t)对t∈(a,x)成立,于是∫ f(t)dt ≥ (x-a)f(x).(x-a)f(x)-∫ f(t)dt ≤ 0,又(x-a)...