根据题意，得四边形ABCD为平行四边形，则其内切圆的圆心为坐标原点；
四边形ABCD的内切圆半径为Rt△AOB中，斜边AB上的高，
根据题意，易得，AO=a，OB=b；
则r=

ab

a2+b2

；
根据题意，其内切圆恰好过椭圆的焦点，
即c=r=

ab

a2+b2

；
又由a²=b²+c²；
联立可得：e=

c

a

=

5 −1

2

；
故选C．