定义在正实数集上的函数f（x）满足下列条件①存在常数a（0＜a＜1）使得f（a）=1②对任意实数m,当x＞0时,恒有f（x^m）=_数学解答

定义在正实数集上的函数f（x）满足下列条件
①存在常数a（0＜a＜1）使得f（a）=1
②对任意实数m,当x＞0时,恒有f（x^m）=mf（x）.
（1）求证：对于任意正实数x,y,f（xy）=f（x）+f（y）
（2）证明：f（x）在（0,+∞）上是单调减函数
（））

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解答

（1）设y=x^b,xy=x*x^b=x^(b+1)
f(xy)=f(x^(b+1)=(b+1)f(x)=b(fx)+f(x)
f(y)=f(x^b)=bf(x),代入上式的,f(xy)=f(x)+f(y)
(2)设01,则z