设M是椭圆X^2\a^2+Y^2\b^2（a>b>0）上一点,F1,F2为焦点,如果∠MF1F2=75°,∠MF2F1=15°,求_数学解答

设M是椭圆X^2\a^2+Y^2\b^2（a>b>0）上一点,F1,F2为焦点,如果∠MF1F2=75°,∠MF2F1=15°,求椭圆的离心率

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解答

设:MF1=m,MF2=n.则:m^2+n^2=(F1F2)^2=4c^2 (1)
又由正弦定理:m/sin75度 = n/sin15度 = 2c/sin90度=2c
得:m*n=(2c*sin75度)*(2csin15度)=4c^2(sin75度)*(sin15度)=4c^2(cos15度)(sin15度)
=2c^2(sin30度)=c^2.
即:mn=c^2 (2)
由(1),(2):4a^2=(m+n)^2=m^2+n^2+2mn=4c^2+2c^2=6c^2
得:e^2=c^2/a^2=4/6=2/3
即:e=根号(2/3)=(根号6)/3