根据题意知，平面ACD₁是边长为

2

的正三角形，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，
则由图得，△ACD₁内切圆的半径是

2

2

×tan30°=

6

6

，
则所求的截面圆的面积是π×

6

6

×

6

6

=

π

6

．
故选A．