设直线l方程为y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
∵直线l平分圆C：x²+y²+4x+6y+1=0的周长，
∴直线l过圆心（-2，-3），
将x=-2，y=-3代入直线l方程得：-2k+3+2-k=0，
解得：k=

5

3

，
则直线l的斜率为

5

3

．
故选A