假设存在实数a、b、c满足题设条件
即f(x)= 0方程,有至少存在一个实数根 ,所以必有Δ≥0
带入定点M得：f(-1)=a-b+c=0 …………1
又对于一切实数x∈R,都有x≤f(x) ≤1/2(1+x²)
当x=1时,1≤f(1) ≤1 即f(x)=1
得：f(1)= a+b+c=1 ……………2
由1,2式得 c=1/2- a b=1/2
带入Δ≥0 得 b²-4 a c≥0 即 （1/2）²-4 a（1/2-a）≥0
解不等式得 a∈R且a≠0
现在只需推出又对于一切实数x∈R,都有x≤f(x) ≤1/2(1+x²)
即 （1）式 f(x) - x≥0 （2）式 f(x) -1/2(1+x²)≤0恒成立即可
由1）式得 ax²-1/2 x+1/2- a≥0 所以只要Δ=（-1/2）²-4 a（1/2-a）≥0恒成立即可,显然Δ≥0恒成立.
由2）式得 （a-1/2）x²-1/2 x-a≤0要使（2）恒成立
ⅰ 当a-1/2=0时 即a=1/2 由2）式得 -1/2 x-1/2≤0 显然不成立；
ⅱ 当a-1/2≠0时 即a≠1/2,
必需有：（a-1/2 ）•f(x0)≥0 注：x0 为对称轴
Δ≤0
这两个条件同时满足
带入化简得：（a-1/2 ）｛（16a ²-8 a +3）/（4 a-2）｝≤0
即a＜1/2
即Δ=（1/2）²-4 a（a-1/2）≤0 化简得 （4 a-1）²≤0 得 a=1/4
即得：c=1/4
综上所述：仅当a=1/4 b=1/2 c=1/4 时,假设成立.
即存在实数,满足题设假设.
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