椭圆x²/a²+y²/b²=1(a,b>0)的两个焦点F1,F2,点P在椭圆C上,
PF₁⊥F₁F₂,|PF₁|=3/2,|PF₂|=5/2.
(1)求椭圆C的方程
(2）当a>b>0时,若直线L过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点,
且A、B关于点M对称,求直线L的方程
(1).|PF₁|+|PF₂|=3/2+5/2=4=2a,故a=2.
∵PF₁⊥F₁F₂,∴P点坐标为(-c,3/2),故有:
c²/4+9/4b²=1,即有 b²(4-c²)=9.(1)
又 a²-b²=c²,用a=2代入得 4-b²=c².(2)
(1)(2)联立求解得 c²=1,(c²=7舍去),b²=3
故椭圆方程为 x²/4+y²/3=1.
(2).园M的标准方程:(x+2)²+(y-1)²=5
圆心M(-2,1).
设过M的直线L的方程为 y=k(x+2)+1=kx+2k+1.(3)
L与椭圆的交点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)
M为AB的中点,故:
x₁+x₂=-4,y₁+y₂=2,
A,B在椭圆上,故有x₁²/4+y₁²/3=1,x₂²/4+y₂²/3=1
两式相减得(x₁²-x₂²)/4+(y₁²-y₂²)/3=0
故 4(y₁-y₂)(y₁+y₂)=-3(x₁-x₂)(x₁+x₂)
k=(y₁-y₂)/(x₁-x₂)=-3(x₁+x₂)/4(y₁+y₂)=-(3/4)(-4/2)=3/2
代入(3)即得L的方程:y=(3/2)x+4