三角函数、数列综合,有一定难度已知α为锐角且tanα=√2 -1,函数f(x)=x^2·tan2α+xsin(2α+π/4)数列{_数学解答

三角函数、数列综合,有一定难度
已知α为锐角且tanα=√2 -1,函数f(x)=x^2·tan2α+xsin(2α+π/4)
数列{an}的首项a1=1/2,a(n+1)=f(an).
1.求函数f(x)的解析式
2.求证：a(n+1)>an
3.求证：1< 1/(1+a1)+1/(1+a2)+.+1/(1+an)

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解答

tanα=√2 -1
tan(2a)=2tana/1-(tana)^2=2√2-2/(1-(3-2√2)=1
所以2a=π/4,2α+π/4=π/2
f(x)=x^2+x
a(n+1）=an^2+an
即a(n+1)-an=an^2＞0
a(n+1)＞an
1/(1+a1)=2/3
1/(1+a2)=4/7
前两项之和已经大于1了所以总和必大于1