> 数学 >
已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（1）若当∠A=θ时，cosA+2cos(
B+C
2
)取到最大值，求θ的值；
（2）设∠A的对边长a=1，当cosA+2cos(
B+C
2
)取到最大值时，求△ABC面积的最大值．
人气：392 ℃　时间：2020-04-20 15:44:20
解答
（1）∵
B+C
2
=
π−A
2
，
则cosA+2cos(
B+C
2
)
=cosA+2sin(
A
2
)
=1−2sin2
A
2
+2sin
A
2

=−2(sin
A
2
−
1
2
)2+
3
2

易得当sin
a
2
＝
1
2
，即A=
π
3
时，cosA+2cos(
B+C
2
)取到最大值，
故θ=
π
3
，
（2）由（1）的结论
S=
1
2
bcsinA=
3
4
bc
又∵a=1，即A=
π
3
由余弦定理可得bc≤1即S≤
3
4

故△ABC面积的最大值
3
4
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