设直线是y=2x+b,代入抛物线
4x^2+(4b-1)x+b^2=0
x1+x2=(1-4b)/4=1/4-b
y1+y2=2x1+b+2x2+b=(1-4b)/2+2b=1/2
所以平行弦的中点坐标[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
即x=1/8-b/2
y=1/4
所以轨迹的纵坐标与b无关且处处相等
因此是一条和x轴平行的直线y=1/4 ,选C