过P点作BC边的平行线EF,分别交AB、AC于E、F ．
∵ΔABC为等边三角形,
∴∠AFE＝∠ABC＝60°,
又∵∠APE＞∠AFE,∴∠APE＞60°．
在ΔAEP中,∵∠APE＞∠AEP,∴AE＞AP．
∵ΔAEF为等边三角形,∴AE＝EF＝AF．
∵AE＞AP,BE＋EP＞BP,PF＋FC＞PC,
∴AE＋(EB＋EP)＋(PF＋FC)＞AP＋PB＋PC,
即AB＋EF＋FC＞PA＋PB＋PC,
∴PA＋PB＋PC＜AB＋AC＝2AB=2
这题可以引伸一个很著名的定理:
P是任意三角形ABC内一点,则当∠APB=∠BPC=∠APC=120`时PA+PB+PC达到最小值.
我简单证明一下:
将三角形APC绕C点顺时针旋转60`的三角形A'P'C
因为 ∠PCP'=60`,PC=P'C
所以 PP'C为等边三角形 ,PC=P'C=PP'
又 ∠BPC+∠P'PC=180`=∠P'PC+∠CP'A'
所以 B,P,P',A,共线
于是 BA'=PB+PA+PC在此时达到最小值
回到此题,问题中的正三角形是让你计算L(min)
当P是正三角形重心时(三线合一)L=PA+PB+PC最小
易求此时L=根号3
故根号3≤L