（1）证明：在正方形ABCD中，∠BCG=90°，BC=CD
在正方形GCEF中，∠DCE=90°，CG=CE
在△BCG和△DCE中，

BC=DC
∠BCG=∠DCE
CG=CE
∴△BCG≌△DCE（SAS）
∴∠1=∠2∵∠2+∠DEC=90°
∴∠1+∠DEC=90°
∴∠BHD=90°
∴BH⊥DE；
（2） 当GC=
2-1时，BH垂直平分DE．理由如下：
连接EG
∵BH垂直平分DE
∴EG=DG
设CG=x
∵CE=CG，∠DCE=90°
∴EG=
2x，DG=
2x
∵DG+CG=CD
x+
2x=1解得x=
2-1
∴GC=
2-1时，BH垂直平分DE．

试题解析：

（1）根据正方形的边的性质和直角可通过SAS判定△BCG≌△DCE，从而利用全等的性质得到∠BHD=90°即BH⊥DE；
（2）解题关键是利用垂直平分线的性质得出EG=DG，从而找到EG=2x，DG=2x，DG+CG=CD．列方程求解即可．

名师点评：

本题考点： 线段垂直平分线的性质；直角三角形全等的判定；正方形的性质．
考点点评： 此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．特殊图形的特殊性质要熟练掌握．