（1）如图2，连接BO，
∵O是边长为a的正方形ABCD的中心，
∴BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，
∵∠CON+∠BON=90°，∠MOB+∠BON=90°，
∴∠MOB=∠CON，
在△BOM和△CON中

∠MOB＝∠CON
BO＝CO
∠MBO＝∠NCO，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴重叠部分的面积为：S△BOC=
1
4S正方形ABCD=
1
4a2；
故答案为：
1
4a2；

（2）如图3所示：

（3）如图4所示：当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD面积二等分．

试题解析：

（1）首先得出△BOM≌△CON（ASA），进而得出S△BOC=14S正方形ABCD=14a2；
（2）连接AC，BD，得到其交点O，进而将交点与M连接，再作与MO垂直的直线，即可得出答案．
（3）利用平行四边形的性质得到其对角线交点，进而得出过交点的直线即可．

名师点评：

本题考点： 作图—应用与设计作图．
考点点评： 此题主要考查了应用与设计作图以及全等三角形的判定与性质和正方形以及平行四边形的性质等知识，利用图形的中心得出符合题意的直线是解题关键．