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在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B,质量分别为m和2m,当两球心间的距离大于L(L比2r大得多)时,两球之间无相互作用力;当两球心间的距离等于或小于L时,两球之间存在相互作用的恒定斥力F.设A球从远离B球处以速度v0沿球连心线向原来静止的B球运动,如图所示.欲使两球不发生接触,v0必须满足什么条件?

人气:464 ℃ 时间:2025-07-18 02:27:59
解答

A球向B球接近至A、B间的距离小于L之后,A球的速度逐步减小,B球从静止开始加速运动,两球间的距离逐步减小.当A、B两球的速度相等时,两球间的距离最小.若此距离大于2 r,则两球就不会接触,所以不接触的条件是
v1=v2
L+s2-s1>2r
其中v1、v2为当两球间距离最小时,A、B两球的速度,s1、s2为两球间距离从L变至最小的过程中,A、B两球通过的路程.由牛顿第二定律,得
a1=
F
m
a2=
F
2m
设v0为A球的初速度,则由匀加速运动公式,得
v1=v0-a1t
v2=a2t
s1=v0t−
1
2a1t2
s2=
1
2a2t2
联立以上各式解得v0<

3F(L−2r)
m
答:欲使两球不发生接触,v0必须满足v0<

3F(L−2r)
m.

试题解析:

A球向B球接近至A、B间的距离小于L之后,A球的速度逐步减小,B球从静止开始加速运动,两球间的距离逐步减小.当A、B两球的速度相等时,两球间的距离最小.若此距离大于2 r,则两球就不会接触.结合牛顿第二定律和运动学公式求出v0必须满足的条件.

名师点评:

本题考点: 牛顿第二定律;匀变速直线运动的速度与时间的关系.
考点点评: 解决本题的关键知道两球速度相等时,有最短距离,结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解.

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