（1）∵反比例函数y＝
k
2x的图象过点A（1，1），
∴k=2，
∴反比例函数关系式是：y=
2
2x=
1
x，
一次函数y=kx+b=2x+b，
∵一次函数y=2x+b过点A（1，1），
∴1=2+b，
b=-1，
∴一次函数解析式是：y=2x-1；
（2）①当AB⊥x轴时：OB=AB=1，
∴B（1，0）
②当OA⊥AB′时：OB′=2OB=2，
∴B′（2，0）．
∴B点坐标为：（1，0），（2，0）．

试题解析：

（1）利用待定系数法把点A（1，1）代入反比例函数关系式可得到k的值，再代入一次函数解析式可得到b的值．
（2）△AOB是直角三角形，分两种情况：①当AB⊥x②当OA⊥AB分别计算．

名师点评：

本题考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
考点点评： 此题主要考查了待定系数法求函数解析式，解决此题的难点是△AOB是直角三角形，分两种情况讨论．