1
设圆的半径为r(r>1)
圆的方程为x²+(y-1)²=r²
∵与x 轴交于D、E两点,且DE=4√2
弦DE中点为原点O
∴r²=|OC|²+|OD|²=1+8=9
∴圆的方程为x²+(y-1)²=9
∴直径|AB|=6
2
Q与D重合时,不妨设D在x正半轴,
则Q(2√2,0）,P(0,-8)
∴PQ:x/(2√2)-y/8=1
即：2√2x-y-8=0
C到PQ的距离d=|-1-8|/√[(2√2)²+1]=3=r
∴直线PD为圆的切线
若Q(-2√2,0)同理可证
3
设Q(x,y),则x²+(y-1)²=9
∴x²+y²-2y=8
∴x²+y²=2y+8
|PQ|²=x²+(y+8)²=x²+y²+16y+64
=2y+8+16y+64=18y+72=18(y+4)
|OQ|²=x²+y²=2y+8=2(y+4)
∴|PQ|²/|OQ|²=9
∴|PQ|/|OQ|=3为定值
再问： 是初中题，没学过圆的方程
再答： 好吧，不用圆的方程 (1) ∵圆与x 轴交于D、E两点，且DE=4√2 圆心C(0,1)在y轴上，y轴⊥x轴 ∴ 弦DE中点为原点O ，OD=2√2 ∴ΔCDD为直角三角形 ∴CD²=OC²+|OD|²=1+8=9 ∴半径CD=3 ∴直径AB=6 (2) ∵P(0,-8),D(2√2,0) ∴PD²=OD²+OP²=64+8=72 又PC²=(1+8)²=81 PD²+CD²=81 ∴PD²+CD²=PC² ∴∠PDC=90º ∴直线PD为圆的切线 (3) 设Q(x,y),则 QC²=x²+(y-1)²=9 ∴x²+y²-2y=8 ∴x²+y²=2y+8 PQ²=x²+(y+8)²=x²+y²+16y+64 =2y+8+16y+64=18y+72=18(y+4) OQ²=x²+y²=2y+8=2(y+4) ∴PQ²/OQ²=9 ∴PQ/OQ=3为定值