设两点存在，分别为A（a2，a），B（b2，b），设AB的斜率为k′，k′=-
1
k，
∴k′＝
a−b
a2−b2=
1
a+b=-
1
k，
∴a+b=-k，b=-k-a，
设M（m，n），则m=
a2+b2
2=
(a+b)2−2ab
2=
k2−2ab
2，
n=
a+b
2=-
k
2，
-
k
2＝k•
k2−2ab
2+
3
4，-2k=2k3-4ka（-k-a）+3，
4ka2+4k2a+2k3+2k+3=0，
△=（4k2）2-4•4k（2k3+2k+3）=-16k（k+1）（k2-k+3）≥0，
∵k2-k+3=（k-
1
2）2+
11
4＞0，
∴-k（k+1）≥0，解得-1≤k≤0
∴实数k的取值范围是[-1，0]．

试题解析：

设A（a2，a），B（b2，b），设AB的斜率为k′，k′=-1k，由已知条件推导出b=-k-a，设M（m，n），由已知条件推导出m=k2−2ab2，n=a+b2=-k2，由此能求出实数k的取值范围．

名师点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查满足条件的直线是否存在的判断，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．