设抛物线的准线为l,A、B、M在l上的射影分别为C、D、N,连结AC、BD、MN.
由梯形的中位线定理,可得|MN|=
1
2(|AC|+|BD|)
连结AF、BF,根据抛物线的定义得|AF|=|AC|,|BF|=|BD|
根据平面几何知识,可得|AF|+|BF|≥|AB|,
当且仅当点F在AB上时取等号
∴|AC|+|BD|≥|AB|=2,
可得|MN|=
1
2(|AC|+|BD|)≥
1
2|AB|=1
设M的横坐标为a,则|MN|=a+
1
4≥1,得a≥
3
4.
因此,当且仅当线段AB为抛物线经过焦点的弦时,
AB中点M到y轴距离的最小值为
3
4
故答案为:
3
4
试题解析:
设A、B、M抛物线的准线上的射影分别为C、D、N,连结AC、BD、MN.根据梯形中位线定理证出|MN|=12(|AC|+|BD|),利用抛物线的定义得|AC|+|BD|=|AF|+|BF|,由此结合平面几何的知识证出|MN|≥12|AB|=1,即可求出AB中点M到y轴距离的最小值.
名师点评:
本题考点: 点到直线的距离公式;抛物线的简单性质.
考点点评: 本题给出抛物线长度为2的弦,当弦在抛物线上滑动时求它的中点到y轴的最小距离.着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于中档题.