证明：如图，在AC延长线上截取CM1=BM，
∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠DCM1=90°，
∵BD=CD，
∵在△BDM和△CDM1中，

BD＝CD
∠ABD＝∠DCM1＝90°
CM1＝BM，
∴△BDM≌△CDM1（SAS），
得MD=M1D，∠MDB=∠M1DC，
∴∠MDM1=120°-∠MDB+∠M1DC=120°，
∴∠NDM1=60°，
在△MDN和△M1DN中，
∵

DM＝M1D
∠MDN＝∠NDM1
DN＝DN，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN=NM1，
故△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2．

试题解析：

可在AC延长线上截取CM1=BM，得Rt△BDM≌Rt△CDM1，得出边角关系，再求解△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，再通过线段之间的转化即可得出结论．

名师点评：

本题考点： 全等三角形的判定与性质．
考点点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解一些简单的结论．