BM=BN且BM垂直BN
证明：因为B在线段AC上
所以角ABD+角DBC=180度
因为角ABD=角DBC
角ABD=角ABE
所以角ABE=角DBC=90度
所以直角三角形ABE和直角三角形DBC是直角三角形
因为AB=DB
EB=CB
所以直角三角形ABE和直角三角形DBC全等（SAS)
所以角BAE=角CDB
AE=CD
因为M .N分别是AE ,CD的中点
所以BM ,CN分别是直角三角形ABE和直角三角形DBC的中线
所以BM=EM=1/2AE
BN=DN=1/2CD
所以BM=BN
角BME=角MBE
角NBD=角BDN
所以角BAE=角NBD
因为角ABD+角BAE+角MEB=180度
所以角BAE+角MEB=90度
所以角MBE+角NBD=90度
因为角MBE+角NBD=角MBN
所以角MBN=90度
所以BM垂直BN
综上所述的结论是：BM=BN且BM垂直BN