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超几何分布期望可以大于一吗
人气:139 ℃ 时间:2020-05-13 18:56:31
解答
显然是可以的.
对X~H(N,M,n),E(x)=nM/N
证明:引理一:∑{C(x,a)*C(d-x,b),x=0..min{a,d}}=C(d,a+b),考察(1+x)^a*(1+x)^b中x^d的系数即得.(另:还可以由超几何分布1=∑P(X=K),k=0,1,2.n得)
引理二:k*C(k,n)=n*C(k-1,n-1),易得.
正式证明:
EX=∑{k*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0..min{M,n}}
=1/C(n,N)*∑{M*C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}}
//(提取公因式,同时用引理二变形,注意k的取值改变)
=M/C(n,N)*∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}} (提取,整理出引理一的前提)
=M*C(n-1,N-1)/C(n,N) (利用引理一)
=Mn/N (化简即得)
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