AG、BF、与GF之间的关系为：AG+BF=GF.
证明：延长GE交CB延长线于点H.
因为 四边形ABCD是正方形,
所以 AD//BC,
所以 角AGE=角BHE,角A=角ABH,
又因为 E为AB的中点,AE=BE,
所以 三角形AGE全等于三角形BHE,
所以 AG=BH,EG=EH,
因为 角GEF=90度,EG=EH,
所以 EF垂直平分GH,
所以 GF=HF=BH+BF,
因为 AG=BH,
所以 AG+BF=GF.