He's been here for a long time和He's been here a long time的的意思一样,只是表时间段的介词for"长达“ 可以省略而已
on that day和 that day 都是指“在那一天”
后者比前者常用,因为：
当表时间的词（day,year,month,week 等） 前面有that,this,next ,last,one,等修饰时常不用介词
如：
this week,last month,next year,one day
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