首先：度量空间中的紧子集等价于有界闭集.
其次：有限个有界集合的并是有界集合；且有限个闭子集的并是闭集.
所以：有限个紧子集之并为有界闭集,也就是紧集.不好意思，没注意到是度量空间，不是R^n空间。

不妨尝试用紧集的另外一个等价定义：它是自列紧集。从而去证明有限个紧集之并集中，任取无穷序列总存在收敛子序列，且收敛点必然属于此紧集之并？