设A为r*r阶矩阵,B为r*n阶矩阵且R(B)=r,证明：（1）如果AB=0,则A=0（2）如果AB=B,则A=E_数学解答

设A为r*r阶矩阵,B为r*n阶矩阵且R(B)=r,证明：
（1）如果AB=0,则A=0
（2）如果AB=B,则A=E

人气：208 ℃　时间：2020-09-10 09:42:44

解答

1）由AB=0,得R(A)+R(B)《r.又R(B)=r,故R(A)《0.显然R(A)》0.故R(A)=0
既A=0
2）如果AB=B,则AB-B =0.即（A-E）B=0,R(B)+R(A-E)《r.又R(B)=r.故R(A—B)《0.故R(A—B)=0.故A—E=0即A=E