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数学
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已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f[f(
5
2
)]的值是( )
A. 0
B.
1
2
C. 1
D.
5
2
人气:225 ℃ 时间:2020-03-20 12:05:04
解答
若x≠0,xf(x+1)=(1+x)f(x),则有f(x+1)=
1+x
x
f(x),取x=-
1
2
,
则有:f(
1
2
)=f(-
1
2
+1)=
1−
1
2
−
1
2
f(-
1
2
)=-f(-
1
2
)=-f(
1
2
)
∵f(x)是偶函数,则f(-
1
2
)=f(
1
2
)
由此得f(
1
2
)=0.
于是,f(
5
2
)=f(
3
2
+1)=
1+
3
2
3
2
f(
3
2
)=
5
3
f(
3
2
)=
5
3
f(
1
2
+1)=
5
3
[
1+
1
2
1
2
]f(
1
2
)=5f(
1
2
)=0
故选:A.
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