（1）设运动时间为t秒时，则有AP=tcm，CQ=3tcm，
∴BQ=BC-CQ=（26-3t）cm，
∵AB⊥BC，
∴当PQ=AB时，则四边形ABQP为矩形，
∴AP=BQ，
∴当t=26-3t，解得t=6.5．
∴当t=6.5时，线段AB与线段PQ相等．
（2）设运动时间为t秒，则有AP=tcm，CQ=3tcm，
∴BQ=26-3t，
作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则有NC=BC-AD=26-24=2．
∵梯形PQCD为等腰梯形，
∴NC=QM=2，∴BM=（26-3t）+2=28-3t，
∴当AP=BM，即t=28-3t，解得t=7，
∴t=7时，四边形PQCD为等腰梯形．
（3）答：存在t的值，使PQ把直角梯形分成周长相等的两部分，
在Rt△DNC中，DN=AB=8cm，CN=2cm，
∴CD=2

17

．
由AP+AB+BQ=PD+DC+CQ，
得t+8+（26-3t）=（24-t）+2

17

+3t，
解得：t＝

5− 17

2

，
∴当t＝

5− 17

2

时，PQ把直角梯形分成周长相等的两部分．