使用E(XY) = E(X)E(Y)是对的.
因为X,Y相互独立,所以exp(tX)与exp(tY)也相互独立.
因此成立E(exp(tX)exp(tY)) = E(exp(tX))E(exp(tY)),即所求证.
如果要用期望的定义证明,过程和证明E(XY) = E(X)E(Y)是一样的.
将E(exp(tX)exp(tY))表示为重积分.
由独立性,重积分可化为累次积分并进一步化为两个积分的乘积.
结果就是E(exp(tX)exp(tY)) = E(exp(tX))E(exp(tY)).