求曲线积分∫e^√(x²+y²)ds 其中l为单位圆周、直线y=(√3)x及x轴在第一象限内所围成的扇形的
整个边界.
设单位园与ox轴得交点为A,与直线y=(√3)x得交点为B,那么
∫e^√(x²+y²)ds=【OA] ∫+【O⌒A】 ∫+【BO】 ∫
线段OA：x=t,y=0,0≦t≦1；
园弧O⌒A：x=cost,y=sint,0≦t≦π/3；
线段BO：x=(1/2)t,y=(√3/2)t,0≦t≦1；
故原式=【0,1】∫e^tdt+【0,π/3】∫[e^√(cos²t+sin²t)]√[(-sint)²+(cost)²]dt
+【1,0】∫[(e^√(t²/4+3t²/4)]√(1/4+3/4)dt
=(e-1)+【0,π/3】∫edt+【1,0】∫e^tdt
=(e-1)+(π/3)e+(1-e)=(π/3)e对于t，sint ,cost 中t是角，对于直线oA来说t是参数，怎么可以？这是分段积分，各段的t的含意是不一样的！对不同的线段，可以采用不同的参数，比如对直线段OA用m，对园弧段A⌒B用t，对直线段BO用n；但这仅仅是参数的名称而已！无所谓的！我是懒得罗嗦，都用同一个t，但赋予了不同的含意。具体思路我懂了，采纳了。只是。。我们不是一个题。我的根号下是x y 的平方和。还是谢谢你了。你这话我就不懂啦！怎么不是同一个题呢？听我详细道来：设曲线L的参数方程是x=φ(t)，y=ψ(t)；其中φ(t)，ψ(t)具有一阶连续导数；当参数t从α变到β时，曲线L上的点的路径为弧AB，如果f(x，y)在弧AB上连续，则积分【A⌒B】∫f(x，y)ds存在，并且可以表达为定积分【A⌒B】∫f(x，y)ds=【α，β】∫f[φ(t)，ψ(t)]√[φ'(t)+ψ'(t)]dt；这是关于线积分定理的完整复述。下面再回到你的问题：你给的积分路径是一个半径r=1，园心角θ=π/3的扇形的边界OABO；直线段OA，其参数方程我选为x=φ(t)=t，y=ψ(t)=0，0≦t≦1；那么φ‘(t)=1，ψ'(t)=0；于是在OA段的积分=【0，1】∫[e^√(t²+0²)][√(1²+0²)]dt=【0，1】∫(e^t)dt=e^t【0，1】=e-e⁰=e-1；园弧A⌒B段，其参数方程为x=φ(t)=cost，y=ψ(t)=sint，0≦t≦π/3，φ'(t)=-sint，ψ’(t)=cost；于是在A⌒B段的积分=【0，π/3】∫[e^√(cos²t+sin²t)]√[(-sint)²+cos²t]dt=【0，π/3】∫edt=et【0，π/3】=(π/3)t；直线BA，其参数方程为x=φ(t)=(1/2)t，y=ψ(t)=(√3/2)t，t从1变到0，φ‘(t)=1/2，ψ'(t)=√3/2；于是在BA段的积分=【1，0】∫{e^√[(t/2)²+(t√3/2)²]}{√[(1/2)²+(√3/2)²=【1，0】∫e^tdt=e^t【1，0】=e⁰-e=1-e；故【L]∫e^√(x²+y²)ds=(e-1)+(π/3)t+(1-e)=(π/3)t；这是求解的最详细的过程，你说怎么与你的不是同一个题？如果是同一个题，那又该怎么作呢？我很希望听到你的再追问。