线段BD、CE、DE之间存在的数量关系为DE=BD+CE,理由为：由BF、CF分别为角平分线,利用角平分线定义得到两对角相等,再由DE与BC平行,得到两对内错角相等,等量代换及等角对等边得到BD=DF,EC=FE,由DE=DF+FE,等量代换可得证．

∵BF为∠ABC的平分线,CF为∠ACB的平分线,
∴∠DBF=∠FBC,∠ECF=∠FCB,
∵DE∥BC,
∴∠DFB=∠FBC,∠EFC=∠FCB,
∴∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF,
∴BD=FD,EC=EF,
则DE=DF+FE=BD+CE=9．
故答案为：9．
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