证明不等式:2/((1/a)+(1/b))<=√ab<=(a+b)/2<=√((a^2+b^2)/2) (a,b∈R+)
人气:480 ℃ 时间:2020-04-11 14:04:30
解答
1.先来证明√ab<=(a+b)/2
两变乘以2再移项:(a+b)-2√ab=(√a-√b)^2>=0
所以(a+b)>=2√ab,
即√ab<=(a+b)/2
2.证明2/((1/a)+(1/b))<=√ab
左边化简:2ab/(a+b)
左边除以右边并化简:2√ab/(a+b)
因为(a+b)>=2√ab
所以2√ab/(a+b)<=1
所以/((1/a)+(1/b))<=√ab
3.证明(a+b)/2<=√((a^2+b^2)/2)
左边平方:(a^2+2ab+b^2)/4
右边平方并上下同时乘以2:(2a^2-2b^2)/4
左边减右边:-(a+b)^2/4<=0
所以(a+b)/2<=√((a^2+b^2)/2)
所以证得2/((1/a)+(1/b))<=√ab<=(a+b)/2<=√((a^2+b^2)/2) (a,b∈R+)
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