一个多重相关的分式二次型极值问题求形如[TeX]{(alpha^TSigma_{21})^2}/{alpha^TSigma_{22_数学解答

一个多重相关的分式二次型极值问题
求形如[TeX]{(alpha^TSigma_{21})^2}/{alpha^TSigma_{22}alpha}[/TeX],其中[TeX]alpha[/TeX]与[TeX]Sigma_{21}[/TeX]为[TeX]nxx1[/TeX]向量,[TeX]Sigma_{22}[/TeX]为[TeX]nxxn[/TeX]正定矩阵.答案为[TeX]alpha=Sigma_{22}^{-1}Sigma_{21}[/TeX]时,有极大值[TeX]Sigma_{21}^TSigma_{22}^{-1}Sigma_{21}[/TeX],

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解答

设B是正定阵而且$B^2=\Sigma_22,\beta=B\alpha$,于是变成了${(\beta^T B^-1\Sigma_21)^2}/{|\beta|^2}$的极大值问题,即${(\beta^TB^-1\Sigma_21\Sigma_21^T B^-1\beta)}/{|\beta|^2}$所以取极值时$\beta$是矩阵$B^-1...