这个道理十分简单,任何数x包括1,用N去除,如果是无限小数,一定是循环小数,循环节数小于N-1.
如果是无限小数,表明x不能被N除尽,在一系列无穷尽的做除法的过程中,每一步将产生余数,而产生的余数仅能是1,2,...,N-1这些数,在无穷尽的相除过程中,余数必定要重复出现,两个相同余数出现意味着后面运算将出现重复,即第2次出现同一余数时后面产生的小数(商)与第1次出现产生的小数完全相同.由于余数不超过N-1,故两次出现余数相同也不会超过N-1,故在相除过程中产生的无限小数必定循环且循环节数小于N-1.