设四个连续自然数a（a+1)（a+2)（a+3)+1
=（a²+3a）（a²+3a+2）+1
=（a²+3a）²+2（a²+3a）+1
=（a²+3a+1）².
∴2006×2007×2008×2009+1
=（2006²+3×2006+1）²
是完全平方数.
证毕.