the first day 和 for the first day简单的解释都是”第一天”,但是在句子意思的理解上是不一样的．用"day"有点难举例子,如果你不介意的话,我就用"the first time"和"for the first time" 来句例子了,它们本质是一样的～
I love her the first time I saw her.我第一次见到她的时候就爱上她了．
I tried it for the first time.我第一次尝试它．
但是你可以感觉出来,没有”FOR”的那句,只是强调一个时间；而有”FOR”的那句则是强调”第一次”,而且句子的潜在意思是：如果不成功的话,还会有第2次,第3次的尝试,只不过这是第1次而已．
不知道这样解释你能不能明白哦～