已知双曲线x^2-y^2=1,直线l斜率为1/2,与双曲线交于A、B,求AB中点满足的方程.已知双曲线x^2-y^2=1，直线l斜_数学解答

已知双曲线x^2-y^2=1,直线l斜率为1/2,与双曲线交于A、B,求AB中点满足的方程.
已知双曲线x^2-y^2=1，直线l斜率为1/2，与双曲线交于A、B,当l变化时求AB中点M(x,y)满足的方程。

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解答

设 L 方程为 x=2y+a ,代入双曲线方程得 (2y+a)^2-y^2=1 ,
化简得 3y^2+4ay+a^2-1=0 ,
设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 y1+y2= -4a/3 ,
所以若设 AB 中点为 M（x,y）,
则 2x=x1+x2=(2y1+a)+(2y2+a)=2(y1+y2)+2a= -8a/3+2a= -2a/3 ,
2y=y1+y2= -4a/3 ,
以上两式相除,可得 y/x=2 ,
所以 M 的方程为 y=2x .