如图，延长AC交⊙C于E，设与圆的另一个交点为Q，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∵AC＝

2

，BC=1，
∴AB=

AC2+BC2

=

3

，
∵CQ、CB、CE都是圆的半径，
∴CQ=CB=CE=1，
根据割线定理得AQ•AE=AP•AB，
∴AP=

AQ•AE

AB

=

( 2 −1)( 2 +1)

3

=

3

3

．
故选B．