1)证明如果a整除b×c,且a,b互质,那么a整除c(abc均是整数).如果该定理是错误的,举出例子并将其修改,并证明修改后的定理.
2)证明如果a,b均为正整数,如果a>b,那么a的平方>b的平方;反之亦然.
人气:304 ℃ 时间:2019-12-10 05:20:36
解答
证明:
(1)∵a|bc ∴不妨设 bc=ka,k∈Z
又设 b的质因子分解为
b=p1^x1 × p2^x2 × …… × pr^xr
(这里的1,2,……,r 都是下标,^x1代表x1次方,且p1、p2等都是质数 ,下同)
a=q1^y1 × q2^y2 × …… × qs^ys
因为(a,b)=1,所以
{p1,p2,p3,……,pr}∩{q1,q2,q3,……,qs} = 空集
由质因子分解唯一定理知,既然a的质因子都不在b中,则必定全在c中,故此有
a | c ,证毕.
(2)∵a,b都是正数且a>b
∴ |a| > |b|
∴ |a|×|a| > |a|×|b| > |b|×|b|,即
|a|² > |b|² ,证毕.
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