A、灯L断路时，电压表串联在电路中，其示数会变大，而电流表示数会变小，灯L熄灭，因此，这是可能的，符合题意；
B、电阻R断路，整个电路将无法接通，故不合题意；
C、灯L短路时，电压表示数降为零，电流表示数将变大，灯泡不发光，因此，这是可能的，但却不是一定的，不合题意；
D、电阻R短路，电压表、电流表示数都将增大，灯泡也会更亮，故不合题意．
故选A．